Fungsi Invers

Definisi :
Misal dua fungsi f dan g berlaku komposisi berikut :
(i) f ( g(x) ) = x , untuk setiap x Î Dg.
(ii) g ( f(y) ) = y, untuk setiap y Î Df.
Maka f disebut invers dari g ( notasi f = g -1 ) atau g disebut invers dari f ( g = f -1 ).
Sehingga diperoleh hubungan,
f o f -1 = f -1 o f = I

I merupakan fungsi identitas, yaitu fungsi yang memetakan ke dirinya sendiri.
Berikut merupakan contoh fungsi dan inversnya. Fungsi f(x) = 1 + x mempunyai
invers f -1(x) = x -1, sebab (f o f -1)(x) = f (f -1(x))= f (x - 1) = 1+ (x -1) = x = I (x) .
Satu hal yang menarik bagi kita, apakah setiap fungsi punya invers ? Bagaimana cara
mendapatkan invers dari suatu fungsi ? Beberapa sifat berikut dapat digunakan untuk
menjawab pertanyaan ini.
Sifat-sifat :
1. Sifat antara fungsi dan inversnya.
(i) Grafik fungsi f dan f -1 simetri terhadap garis y = x.
(ii) Domain f sama dengan range f -1 atau range f sama dengan domain f -1.
2. Sifat Keberadaan fungsi invers
(i) Fungsi f(x) punya invers bila dan hanya bila tidak ada garis mendatar yang
memotong grafik f(x) lebih dari satu titik.
(ii) Fungsi f(x) punya invers bila dan hanya bila f(x) berkorespondensi satu-satu
[ yaitu bila f(x1) ¹ f(x2) maka x1 ¹ x2 ].
(iii) Misal interval I merupakan domain f(x) dan f(x) naik atau f(x) turun pada I.
Maka f(x) punya invers pada I.

Misal y = f -1 ( x ). Maka didapatkan x = f ( y ) . Hal ini memotivasi kepada kita
suatu cara untuk menentukan invers dari fungsi y = f ( x ). Untuk menentukan invers dari
suatu fungsi y = f ( x ) dilakukan dengan cara mensubstitusikan peubah y ke dalam x,
sehingga fungsi dinyatakan secara eksplisit dalam peubah y. Tuliskan f ( y ) = x dan
nyatakan fungsi yang diperoleh tersebut menjadi fungsi eksplisit dalam peubah x. Hasil
terakhir merupakan invers dari y = f ( x ).